تعريف الدوال وانواعها

يمكن تعريف الدوال بأنها ارتباط كل مدخل بمخرج معين ، مفهوم الدوال في الرياضيات يتم تغطيته من خلال فهم أفضل.

تعريف الدوال

إن دراسة وإجراء بحث عن الدوال والمتباينات هو أمر مهم جدًا ويعتبر من القواعد الأساسية في الرياضيات ، الدوال في الرياضيات هي علاقة بين المدخلات والمخرجات المسموح بها مع خاصية أن كل مدخل يرتبط بمخرج واحد فقط ، ويمكن أن يرتبط المخرج بأكثر من مدخل،  لنفترض أن A & B عبارة عن مجموعتين غير فارغتين ، سيكون التعيين من مجموعة A إلى B دالة فقط عندما يكون لكل عنصر في المجموعة A نهاية واحدة فقط و صورة واحدة في المجموعة B.تعريف آخر للدوال هو علاقة تربط “f” حيث يتم تعيين كل عنصر من عناصر المجموعة “A” مع عنصر واحد فقط ينتمي إلى المجموعة “B”، وأيضا في الوظيفة، لا يمكن أن يكون هناك زوجان لهم نفس العنصر الأول.يجب ألا تكون المجموعة A والمجموعة B فارغة. في الوظيفة، يقوم الشخص بإدخال مدخل معين للحصول على نتيجة معينة، لذلك فإن الدالة f: A-> B إلى أن f دالة من A إلى B ، حيث A هي مجال و B هي مجال مشترك.يُشار إلى العنصر الفريد b الذي ترتبط به f بـ f )a) ويسمى f لـ a أو قيمة f عند a أو صورة a تحت f.

مدى f (صورة aتحت f)

هي مجموعة جميع قيم f)x) مجتمعة.

تحتوي الوظيفة ذات القيمة الحقيقية على P أو أي من مجموعاتها الفرعية كنطاقها. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان مجاله أيضًا إما P أو مجموعة فرعية من P ، فإنه يطلق عليه دالة حقيقية.

بحث عن الدوال

بعض الخطوات من أجل حل الدوال :

سؤال: أجد الحل من أجل الدالة g(t)= 6t^2+5 عندما تكون t = 0 وعندما تكون t = 2

الحل: الدالة هي عند الرقم 0 فإن g(0) =6 (0)^2+5 والجواب هو 5، أما عندما تكون t = 2، عندها يكون الحل g(2) =6(2)^2+5 والإجابة هي 29.

أنواع الدوال

هناك أنواع مختلفة من الدوال في الرياضيات، ويجب تعلم هذه الأنواع من أجل تطبيق الدوال في الحياة اليومية وذلك بسببأهمية الدوال المثلثية في حياتنا :

الدالة متباينة .

الدالة الشمولية .

الدالة متعددة الحدود .

دالة خطية .

وظيفة المتطابقة .

الدالة من الدرجة الثانية .

الدوال الجبرية .

دالة مكعب .

دالة المعامل .

دالة الجزء الكسري .

دالة زوجية وفردية .

الدالة الدورية .

الدالة المركبة .

الدالة الثابتة .

الدالة المتباينةإن كان كل جزء وعنصر من المجموعة لديه صورة مختلفة في المجموعة الأخرى، فهذه الدالة تعرف باسم الدالة المتباينة، على سبيل المثال R R المعطاة من f (x) = 3x + 5 هي واحد – واحد.الدالة الشموليةهي الدالة التي يكون فيها على الأقل عنصرين، وتكون صورهم هي نفسها، وتعرف الدالة باسم الدالة الشمولية مثال عليها f(x) = x2 + 1، وتعرف أيضا بالدالة الشمولية إن كان لكل عنصر في المجال المشترك على الأقل صورة واحدة في المجال.دالة متعددة الحدوددالة ذات قيمة حقيقية f: P → P محددة بواسطة y = f (a) = h_ {0} + h_ {1} a +… .. + h_ {n} a ^ {n} h وتعرف باسم المتتالية الحسابية.

N = عدد صحيح غير سالب.

درجة دالة متعددة الحدود هي الدرجة الأعلى.

إن كان الدرجة تساوي الصفر، تسمى عندها الدالة بالدالة الثابتة.

وإذا كانت الدرجة تساوي الواحد، تسمى عندها الدالة بالدالة الخطية، مثال على ذلك ب= أ +1.

الرسم البياني: يمثل دائما بخط مستقيم.

يمكن التعبير عن الدالة بالشكل التالي: ​ f (a) = h_ {0} + h_ {1} a +… .. + h_ {n} a ^ {n} h

اقوى درجة تعرف باسم الدالة كثيرة الحدودز

تسمى الدالة كثيرة الحدود بالدالة الخطية إذا كانت الدرجة تساوي الواحد فقط.

تكون دالة كثير الحدود تربيعية إن كانت الدرجة تساوي اثنان.

تكون دالة كثير الحدود تكعيبية إذا كانت الدرجة تساوي ثلاثة.

الدالة الخطيةالرسم البياني للدالة الخطية عادة ما يكون خط مستقيم، و بعبارات أخرى يمكن وصف الدالة الخطية بأنها دالة كثير الحدود من الدرجة الأولى، ويتم التعبير عنها بالعلاقة التالية f(x) = mx + c.

مثال على ذلك: f(x) = 2x + 1 عندما تكون x = 1 ويمكن إيجاد الحل من خلال تعويض كل مجهول بالرقم 1، فيكون f(1) = 2.1 + 1 = 3 وبالتالي الإجابة تكون f(1) = 3.

مثال آخر على الدالة الخطية أو الدالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى هي y = x + 3.

الدالة المتطابقةيطلق على الدالتين بأنهما متطابقتين إذا كان

مجال f هو نفسه مجال g

مدى f = مدى g

مثال على ذلك: f(x) = x)  بينما g(x) = 1÷ 1÷ x).الحل: f)x) معرف على كل الأعداد بينما g)x) معرف على كل الأعداد ، ما عدا تلك التي تعدم المقام وبالتالي كل الأعداد ما عدا الصفر، لذلك فإنه يكون معرفًا على مجموعة الأعداد R ما عدا الصفر .الدالة من الدرجة الثانيةهذه الدوال والمتباينات تشمل جميع أنواع الدوال التي تكون من الشكل y = ax2 + bx + c حيث a ، b ، c \ في Rc∈R ، a ≠ 0 ستُعرف بالدالة التربيعية. سوف يكون الرسم البياني قطع مكافئ.بعبارات أبسط الدالة التربيعية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية وهي توصف بالعلاقة التالية:F (x) = ax2 + bx + c ، و a لا تساوي صفرًا. حيث تكون a و b و c ثابتة و x متغير.

مثال: f (x) = 2×2 + x – 1 عند x = 2.

الحل: إذا كانت س = 2 ، و (2) = 2.2 ^2 + 2-1 = 9

مثال آخر: y = x2 + 1.

الدوال الجبريةتُعرف الوظيفة التي تتكون من عدد محدود من المصطلحات التي تتضمن قوى وجذور المتغير المستقل x والعمليات الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة باسم معادلة جبرية أو الدالة الجبريةالدالة التكعيبيةالدالة متعددة الحدود أو الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، ويمكن التعبير منها من خلال العلاقة الرياضية التالية: F (x) = ax3 + bx2 + cx + d و a لا تساوي صفرًا.

بعبارات أخرى أي دالة من النمط التالي تعتبر دالة تكعيبية f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d\in R و a لا تساوي صفرًا.[1]

 الدوال والمتباينات

المتباينات هي نوع من العلاقات الرياضية، ويمكن تمثيلها رياضيًا كما يتم تمثيل أي علاقة، وهي عبارة عن علاقة رياضية بين تعبيرين يتم تمثيلها عادة كما يلي :

≤: “أقل من أو يساوي”

<: “أقل من”

≠: “لا يساوي”

>: “أكبر من”

≥: “أكبر من أو يساوي

ويمكن أن تشمل المساواة متباينة صارمة او غير صارمة تضم علامة أكبر أو يساوي أو أصغر أو يساوي، وعند تبديل كلا طرفي المتباينة يجب أيضا تبديل إشارة المتباينة  أي أنه: بما أنه صحيح أن 4 <5 ، فمن الصحيح أيضًا أن 5> 4 .بينما المعادلة التي تشير إلى وجود مساواة في المتباينة فيتم التعبير عنها من خلال الرمز =مثل حلول المعادلات الشرطية ، يمكن تمثيل حلول المتباينات في متغير واحد باستخدام خط الأعداد.عند التفكير في المواقع على طول خط الأعداد ، يمكن تفسير رموز عدم المساواة على النحو التالي:

≤: “على اليسار أو يساوي

<: “إلى يسار فقط

≠: لا يساوي

>: “على يمين فقط”

≥: على يمين أو يساوي[2]