ما هي خصائص الاعداد الحقيقية

الأرقام هي عبارة عن رموز يتم استخدامها للتعبير عن الأعداد التي تقع بين الصفر والتسعة، بمعنى أنها ليست أعدادًا ولكنها أشكال يتم من خلالها التعبير عن كميات ومقادير أشياء محددة، حيث إن العدد خمسة يتم الرمز له برقم 5، كما أن العدد سبعة وثلاثون يُرمز له برقمين هما 7 و3، لذلك فهي الأساس في الرياضيات التي تقوم عليه مختلف العمليات الحسابية، ونجدها على هيئة 6 مجموعات تحتوي عليها مجموعة الأعداد الحقيقية، وعند إجراء بحث عن خصائص الاعداد الحقيقية نجد بالتفصيل هذه المجموعات الرياضية.

شرح مجموعة الأعداد الحقيقية

عند تعريف الأعداد الحقيقية (Real Numbers) تكون هي جميع الأعداد الواقعة على خط الأعداد، وتحتوي على الموجبة والسالبة، النسبية وغير النسبية، وكذلك الصفر، وفي الغالب يتم استخدامها في الحياة اليومية، ومن غير الحقيقية نجد الجذر التربيعي للعدد-1 والمالانهاية، ويمكن تعريف الأعداد الحقيقية كذلك بأنها جميع ما يتساوى مربعها مع عددًا حقيقيًا موجبًا.[1]يتم تقسيم الأعداد الحقيقية إلى نسبية وغير نسبية، والتي تنقسم كذلك إلى الكسرية والصحيحة، وبالنسبة للأعداد الصحيحة تنقسم أيضًا إلى الأعداد السالبة والكاملة التي تنقسم بدورها إلى الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر، وحتى يُسهل المعلمون على الطلاب فهمها يتم شرحها من خلال جدول خصائص الاعداد الحقيقية ، وفي الآتي سرد كل مجموعة منهم:[2]

الأعداد النسبية:(Rational numbers)، وهي تحتوي على جميع الأعداد التي يتم كتابتها على هيئة كسر والذي يكون مكون من بسط ومقام.

الأعداد الصحيحة:(Integers numbers)، وهي المكونة من الأعداد السالبة، والكاملة، التي لا تحتوي على أجزاء عشرية.

الأعداد الكسرية: (Fractions numbers)، التي تتضمن كل الأعداد التي تقع على الخط بين الأعداد الصحيحة.

الأعداد الكاملة:(Whole numbers)، تلك التي تشمل جميع الأعداد الطبيعية والصفر.

الأعداد الطبيعية: (Natural numbers)، تحتوي هذه المجموعة على جميع الأعداد الصحيحة بدايتًة من العدد 1.

بالإضافة إلى هذه المجموعات، هناك أنواع أخرى من الأعداد التي هي تكون جزء أساسي من علم الرياضيات، ويمكن توضيحها في الآني:

الأعداد الزوجية والفردية: (Even and odd numbers)، الأعداد الزوجية هي أعداد صحيحة، ولكنها جميع ما يمكن قسمته على العدد 2 منها، وبالنسبة للأعداد الفردية فهي ما لا يقبل القسمة على 2 من الأعداد الصحيحة.

الأعداد الأولية والمركبة: (Prime and composite)، الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية التي تحتوي على عاملين فقط وهما، العدد 1 ونفسها، في حين أن الأعداد المركبة هي جميع التي تكون غير أولية.

الأعداد الموجبة والسالبة:(Positive and negative numbers)، الأعداد الموجبة هي جميع ما يزيد عن العدد (0) من الأعداد الصحيحة، أما الأعداد السالبة فهي جميع ما يقل عن العدد (0) من الأعداد الصحيحة.

اهميه الأعداد الحقيقية

تكمن أهمية الأعداد الحقيقية في جعل العمليات الحسابية وحل المعادلات أكثر سهولة، وحتى يتم ذلك يجب فهم سلوك تلك الأعداد عند تنفيذ العمليات الرياضية عليها، ويكون ذلك كالآتي:[3]

لحظة ضرب أو جمع عددين حقيقين، يكون الناتج أيضًا عدد حقيقي.

الخاصية التجميعية والتي هي عند ضرب أو جمع ثلاثة أعداد بالرغم من طريقة تجميعهم في الأقواس، يكون الناتج هو نفسه.

الخاصية التبديلية والتي هي عند ضرب أو جمع عددين بالرغم من ترتيبهم في المسألة الرياضية، نجد في نهاية الأمر نفس الناتج.

عند ضرب عدد حقيقي باستثناء الصفر مع مقلوبه، ستظهر النتيجة 1 في جميع الأوقات.

عند جمع عدد حقيقي مع معكوسه، ستظهر النتيجة صفر دائمًا.

خاصية الهوية، وهي عند جمع أي عدد حقيقي مع  الصفر، ستكون النتيجة هي نفس العدد الحقيقي.

خاصية التوزيع، وهي عندما تفصل عملية جمع داخل قوس بين ضرب عددين حقيقين مع عدد حقيقي، ففي ذلك الحين يتوزع الضرب على عملية الجمع.

ما الفرق بين الأعداد الصحيحة والاعداد الحقيقية

قام العلماء والمختصون في الرياضيات بتطوير العديد من الأنظمة التي تحدد الكيفية التي يختلف بها رقم عن الآخر، مثل غيرها من المفاهيم تمامًا، ولكثرة فئات الأرقام، فهي تتداخل في بعضها، حيث إن الأعداد الحقيقية تحتوي على كل ما هو من الأعداد المنطقية مثل الصحيحة، كما أن لهم اشتراك في بعض الخصائص المتشابهة كالتخطيط على خط الأعداد، في حين أن الاختلاف الأساسي هو أن الأعداد الحقيقية عبارة عن تصنيف عام، أما الأعداد الصحيحة فهي مجموعة فرعية كاملة الأرقام ويمكن أن تتضمن بعض الخصائص السلبية.[4]ويمكن توضيح الفرق بين الأعداد الحقيقية والصحيحة كذلك بأن العدد الحقيقي يمكنه أخذ أي قيمة على خط الأعداد، حيث إنه قد يأتي من الأعداد المنطقية وغيرها، والجدير بالذكر أن العدد المنطقي هو الذي يمكن التعبير عنه على شكل كسر بمقام ليس صفري، بينما الأعداد الصحيحة هي نوع لا يأتي على هيئة كسر، وهي ما يمكن أن يكون موجب أو سالب.

خصائص الأعداد الصحيحة

يُعرف عن الأعداد الصحيحة أنها متفرعة من الحقيقية، وهذه الأعداد هي ما يضم الأعداد الموجبة والسالبة بالإضافة إلى الصفر، ويمكن تمثيلها على خط الأعداد، بحيث يكون الصفر في المنتصف وعلى يمينه الأعداد الموجبة ومن ناحية اليسار تقع الأعداد السالبة، وللأعداد الصحيحة مجموعة من الخصائص كالآتي:[5]

خاصية التبديل،والتي هي إضافة الأعداد الصحيحة بالرغم من ترتيبها يؤدي إلى نفس النتيجة.

خاصية التبادل في الضرب، والتي هي عند ضرب الأعداد الصحيحة سيكون لها النتيجة ذاتها على الرغم من اختلاف الترتيب.

إمكانية الإضافة، حيث إن إضافة الأعداد الصحيحة عند الجمع سوف يصل إلى النتيجة نفسها بالرغم من الترتيب.

خاصية الترابط في الضرب، مع اختلاف الترتيب، فإن ضرب الأعداد الصحيحة يؤدي إلى ذات النتيجة.

خاصية توزيع الضرب والجمع، وهي التي تشتمل على ضرب أعداد صحيحة في عدد آخر صحيح.

خط الأعداد الحقيقية

خط الأعداد الحقيقي هو عبارة عن خط هندسي، ويتم في بدايته وضع نقطة الأصل على السطر، ثم الاتجاه إلى اليمين لتكون الأعداد موجبة، واتجاه اليسار حيث الأعداد السالبة، فتكون أي نقطة أو عدد على الخط هو رقم حقيقي، فمثلًا يمكن أن نجد على خط الأعداد الحقيقي عددًا صحيحًا كالرقم 7، في حين أنه بإمكانه أن يتضمن عدد نسبي، أو غير نسبي، حيث إنه من المستحيل أن يصل هذا الخط إلى النهاية، فالأعداد الحقيقية تتضمن مجموعات، كما أنها تتضمن المالانهاية، والجدير بالذكر أن خط الأعداد الحقيقي هو طريقة يجب تبسيطها للطلاب الدارسين لعلم الرياصيات، حتى يسهل عليهم معرفة مجموعاته المختلفة والمتنوعة.