العمليات الرياضية
إن “العملية” الرياضية تقوم بالإشارة إلى حساب قيمة من خلال استخدام المعاملات والمعامل الرياضي، ويشتمل رمز المعامل الرياضي على قواعد تم تحديدها مسبقًا حتى يتم تطبيقها على المعاملات أو الأرقام المحددة، ومن الجدير بالذكر أنالتعبير الرياضي عبارة عن مجموعة من الأرقام والعمليات.
أما عن الأرقام التي يتم استخدامها في العملية تُعرف باسم المعاملات، ووفقًا لنوع العملية يتم وضع مصطلحات متنوعة للمعاملات، وتسمى تلك العمليات في الغالب بالعمليات الحسابية، ومن الواجب ذكره أن الحساب هو من أقدم وأهم الفروع في مادة الرياضيات.[1]
والعمليات الحسابية الأساسية عددها أربعة وهي:[2][3]
- الجمع.
- الطرح.
- الضرب.
- القسمة.
وهناك ما يُعرف بعامل التشغيل وهو الرمز الذي يدل على العملية الحسابية فعلى سبيل المثال:
- + تعني إضافة رقمين أو أكثر لإيجاد مجموعهما أو الإجمالي.
- – طرح رقم واحد من رقم آخر هو إيجاد الفرق بينهما.
- ×الضرب يعني الأوقات (أو الجمع المتكرر) وحاصل الضرب هو نتيجة ضرب رقمين (أو أكثر).
- ÷ القسمة وهي عكس الضرب.
- =يساوي تُشير إلى التكافؤ، أي أن قيمة الجانب الأيسر تساوي قيمة الجانب الأيمن.
عملياتالطرحفي الرياضيات
الطرح عملية حسابية وهي عكس عملية الجمع، وتُستخدم عملية الطرح حينما يتم حساب عدد العناصر المتبقية في المجموعة بعد أن يتم إزالة كمية مُحددة من العناصر التي توجد في تلك المجموعة، فعلى سبيل المثال ماجي لديها خمس تفاحات، فقامت بإعطاء تفاحتين لصديقها أحمد، فكم يكون عدد التفاحات المتبقية معها الآن؟ يكون لديها ثلاث تفاحات (5 تفاحات كانت لديها – تفاحتان أعطتهما لصديقها أحمد= 3 تفاحات متبقية معها).
ويتم تحديد الطرح من خلال “رمز الطرح (-)” أو ما يُعرف بعلامة الطرح ومن الممكن كذلك أن يتم استخدام الطرح في إجراء عمليات بأرقام سالبة، كسور، أرقام عشرية، ووظائف ، وغيرها، وممكن الممكن أن يتم التساؤل حول لماذا يسمى الناتج في الطرح فرقا وهذا لأن طرح رقم واحد من رقم آخر هو أن يتم إيجاد الفرق بينهما، وفي التالي أمثلة على الطرح:
- 17 – 8 = 9
يتم قراءة ذلك المثال على أنه سبعة عشر ناقص ثمانية يساوي تسعة، يمكننا أيضًا القول إن 17 ناقص 8 يساوي 9.
- مثال آخر: اطرح 9 من 16.
الحل: 16-9 = 7
ولطرح الأعداد الكبيرة يتم إدراجها في أعمدة ثم يتم طرح فقط تلك الأرقام التي لها القيمة المكانية ذاتها والمثال على ذلك:
- أوجد الفرق بين 7064 و 489.الحل: من خلال استخدام طريقة الجمع المتكافئ أو طريقة التحليل، تكون الإجابة هي 6575.
ومن طرق الطرح في الرياضيات يوجدطريقة الطرح بالاستلاف ،أما عن استخدام طريقة الجمع المتكافئ أو طريقة التحلل فهي تتم من خلال التالي:
- اصطف قيم الآلاف والمئات والعشرات والوحدات للرقمين عند وضع الرقم الأصغر أسفل الرقم الأكبر.
- اكتب الأعداد في أعمدة مصطفة بالآلاف والمئات والعشرات والوحدات، 7 + 8 + 6 + 9 = 30. وهكذا ، فإن مجموع الأرقام في عمود الوحدات هو 30، ولذا يتم وضع 0 في خانة الوحدات ونحمل 3 إلى خانة العشرات.
- مجموع الأرقام في عمود العشرات بعد إضافة 3 هو 27، ولذا يتم وضع 7 في خانة العشرات ونحمل 2 إلى خانة المئات.
- مجموع الأرقام في عمود المئات بعد إضافة 2 هو 22. ولذا يتم وضع 2 في خانة المئات ونحمل 2 إلى خانة الآلاف.
خصائص عملية الطرحعلى الأعداد الحقيقية
إن عملية الطرح لها الكثير من الخصائص، وهي:[4]
- إن الخاصية التبادلية التي تُميز عملية الجمع لا تنطبق على عملية الطرح، فعلى سبيل المثال: 7 – 4 = 3 ≠ 4 – 7 = -3، والأمر نفسه ينطبق على الخاصية التجميعية فمثلًا: 8 – (13 – 5) = 0، بينما (8 – 13) – 5 = -10، أي أن عملية الطرح لا تكون عملية تبديلية، ولا عملية تجميعية.
- في حال كان (أ) عددًا صحيحًا غير العدد صفر، فإن نتيجة طرح العدد صفر منه، سوف تساوي العدد نفسه، أي أن: أ-0 = أ؛ فمثلاً: 15-0 = 15، وتُسمى تلك الخاصية (بخاصية الهوية).
- إذا كانت أ، ب، ج أعدادًا صحيحة وكان: أ-ب = ج، فإن: أ= ب+ج.
- إذا كانت أ، ب أعدادًا صحيحة وكانت أ > ب أو أ=ب، فإن: أ- ب= عدد صحيح، أما إن كان ب > أ، فإن النتيجة تكون عددًا سالب القيمة.
- عند طرح العدد نفسة أو القيمة نفسها من طرفي المعادلة فإن الطرفين يبقيان متساويين.
- عند طرح العدد نفسه من نفسه فتكون النتيجة تساوي صفر.
ترتيب العمليات الحسابية
في مادة الرياضيات حينما يتم القيام بإجراء عمليات حسابية، لا بد أن يوضع في الاعتبار أن هناك تسلسلًا ينبغي مراعاته من أجل إجراء العمليات الحسابية بشكل صحيح، وهذا التسلسل هو:[2]
- الجمع والطرح عمليات حسابية من الدرجة الأولى، في حين أن الضرب والقسمة هي عمليات رياضية من الدرجة الثانية، وذلك يعنى أنه في حال كانت العمليات من ذات الدرجة، فإننا تُحل بترتيبها (من اليمين إلى اليسار) وفي الإنجليزية من اليسار إلى اليمين فمثلًا: 18 – 2 + 4 = 16 + 4 = 20
وهذا ينطبق فقط إذا كان لا يوجد أقواس في المعادلة، أما إذا كانت هناك أقواس، سيتم حل الأرقام الموجودة أولًا بين القوسين كالتالي: 18 – (2 + 4) = 18 – 6 = 12، فعند ملاحظة الفرق في النتائج على الرغم أن الأرقام نفسها لكن النتائج مختلفة.
- أما إذا كان هناك عمليات بدرجات متباينة، فيتم حلها بالترتيب التالي: الضرب والقسمة أولاً ثم الجمع والطرح بعد ذلك، فمثلا: 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14
ولا بد من حل الأرقام التي توجد بين قوسين أولاً في جميع الأحوال.
خصائص العمليات الحسابية
- إن العمليات الحسابية هي أساس مادة الرياضيات، وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة هي أسس الرياضيات، والتي يستخدمها كافة الأشخاص كذلك في حياتهم اليومية، ومن الممكن أن تُقسم جميع المعادلات والرسوم البيانية وعدد كبير من الحسابات الهامة الأخرى بطريقة أو بأخرى إلى تلك العمليات الأساسية الأربع للرياضيات.[5]
- وإذا تم اعتبار الرياضيات آلة فيكون الجمع والطرح والضرب والقسمة هي أدواتها الأساسية التي تُجرى على الأرقام أو القيم، ويتم استعمال تلك العمليات كذلك في مفاهيم الجبر، من خلال توضيح الميزات بطرق لتنفيذ آليات الحساب في مواقف مُعينة، وفي الغالب ما يتم على تلك الشروط داخل معادلة في الرياضيات.
- إذا تم تجميع مجموعة من القيم في معادلة بمساعدة الأقواس ()، فسوف تكون هناك حاجة إلى تشغيل البيانات المجمعة أولاً قبل أي شيء آخر، ولا بد من استخدام ترتيب أقواس الأسس والضرب والقسمة والجمع والطرح.
- تعتبر بعض الخصائص في الرياضيات أساسية جدًا عند مقارنتها بغيرها من الخصائص، إذ أنها تظهر بشكل متكرر أكثر من غيرها، فمثلًا الخاصية الانعكاسية هي الخاصية الأساسية، والتي تقول أن الرقم يساوي نفسه دائمًا (أ = أ).
- وعلى هذا فيوجد الكثير من الخصائص الأخرى للعمليات الحسابية التي يتم استخدامها باستمرار لحل المشكلات الأساسية، كخصائص الجمع فهي خاصية هوية تبادلية، ترابطية، مضافة، ممتلكات توزيع، تلك الخصائص الأربعة يمكن تطبيقها كذلك على عملية الضرب، ولكن ليس الطرح والقسمة.
- ومن الجدير بالذكر أن تلك النقاط هي التي توضح أهمية الحساب في الرياضيات وكذلك في العالم الحقيقي من خلال استخدام تلك المفاهيم لإجراء العمليات الحسابية المعتادة.
